1.不定积分(原函数)存在性定理、定积分存在性定理、变限积分存在性定理
笔记来源： 1.10个命题搞懂可积和原函数存在 2.考研变限积分概念超详细，超通俗讲解（变限积分和原函数关系）
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1.1 不定积分(原函数)存在性定理
无论开区间还是闭区间，只要
f
(
x
)
f(x)
f(x)连续，则一定有原函数，原函数一定可导
f
(
x
)
f(x)
f(x)有第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）时一定没有原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)有第二类间断点中的无穷间断点时一定没有原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)有第二类间断点中的振荡间断点时可能有原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)有跳跃间断点时一定没有原函数 证明： 假设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
∈
I
x_0\in I
x0∈I上有跳跃间断点且
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
I
I
I上有原函数，即对
∀
x
∈
I
\forall x\in I
∀x∈I 都有
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
F'(x)=f(x)
F′(x)=f(x)，又由于
F
(
x
)
F(x)
F(x)在
I
I
I上可导，所以
F
(
x
)
F(x)
F(x)在
I
I
I上连续
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
A
1
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
A
2
由于
x
0
为跳跃间断点，故
A
1
≠
A
2
F
+
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
+
F
(
x
)
−
F
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
+
F
′
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
A
1
（洛必达）
F
−
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
−
F
(
x
)
−
F
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
−
F
′
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
A
2
（洛必达）
由于
A
1
≠
A
2
，故
F
′
(
x
0
)
不存在，与假设可导矛盾，故
f
(
x
)
在
I
不存在原函数
\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A_1\\ ~\\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A_2\\ ~\\ \text{由于}x_0\text{为跳跃间断点，故}A_1\neq A_2\\ ~\\ F'_+(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}F'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A_1（\text{洛必达}）\\ ~\\ F'_-(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}F'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A_2（\text{洛必达}）\\ ~\\ \text{由于}A_1\neq A_2，\text{故}F'(x_0)\text{不存在，与假设可导矛盾，故}f(x)\text{在}I\text{不存在原函数}
x→x0+limf(x)=A1 x→x0−limf(x)=A2 由于x0为跳跃间断点，故A1=A2 F+′(x0)=x→x0+limx−x0F(x)−F(x0)=x→x0+limF′(x)=x→x0+limf(x)=A1（洛必达） F−′(x0)=x→x0−limx−x0F(x)−F(x0)=x→x0−limF′(x)=x→x0−limf(x)=A2（洛必达） 由于A1=A2，故F′(x0)不存在，与假设可导矛盾，故f(x)在I不存在原函数
1.2 定积分存在性定理
f
(
x
)
f(x)
f(x)必须在闭区间上连续
定积分存在就等价于面积存在
即便原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)存在第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）其定积分仍存在，也就是其面积仍存在。因为某一条线与
x
x
x轴围成的面积为0，所以第一类间断点并不影响总体面积大小。
1.3 变限积分存在性定理
将
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
\int_{a}^{b}f(t)dt
∫abf(t)dt 中的
b
b
b 用
x
x
x 代替，且
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x∈[a,b]上变动，则
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
\int_{a}^{x}f(t)dt
∫axf(t)dt变成了一个函数（以
x
x
x为自变量）将其称为变限积分，记作
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
x
∈
[
a
,
b
]
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\ x\in[a,b]
F(x)=∫axf(t)dt x∈[a,b]
f
(
x
)
f(x)
f(x)在闭区间
′
[
a
,
b
]
'[a,b]
′[a,b]上可积，则
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt
F(x)=∫axf(t)dt在闭区间
′
[
a
,
b
]
'[a,b]
′[a,b]上连续 什么情况下函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)可积？ 情况一：函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续 情况二：函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上有界且有有限个间断点 定积分的存在性与变限积分的存在性是一回事，都要求
f
(
x
)
f(x)
f(x)在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上可积，即有界且有有限个间断点
f
(
x
)
f(x)
f(x)在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续，则
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt
F(x)=∫axf(t)dt在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上可导且
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
F'(x)=f(x)
F′(x)=f(x) 证明：
F
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
F
(
x
+
Δ
x
)
−
F
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
∫
a
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
Δ
x
F
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
∫
x
x
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
ϵ
)
Δ
x
Δ
x
=
f
(
x
)
【
ϵ
∈
(
x
,
x
+
Δ
x
)
】积分中值定理
F'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\int^{x+\Delta x}_af(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt}{\Delta x}\\ ~\\ F'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\int^{x+\Delta x}_xf(t)dt}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(\epsilon)\Delta x}{\Delta x}=f(x)\ 【\epsilon\in(x,x+\Delta x)】\text{积分中值定理}
F′(x)=Δx→0limΔxF(x+Δx)−F(x)=Δx→0limΔx∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt F′(x)=Δx→0limΔx∫xx+Δxf(t)dt=Δx→0limΔxf(ϵ)Δx=f(x) 【ϵ∈(x,x+Δx)】积分中值定理
1.4 小结